初中数学全盘知识点总结分析

一章节梳理1有理数

1. |a|≥0;

2.非负数包括正数与0,非正数包括负数与0;

3.无理数为无限不循环小数;

4.数轴的三要素:原点,正方向,单位长度;

5.去绝对值符号前要先确认里面的正负,不确定要分类讨论; 【如处理y=|x-2 |+|x-3|+|x-4|可用零点分段法,即分别算出每个绝对值内等于0时对应的x的值,然后标在数轴上,三个点将数轴分成了四段,针对该四段进行分类讨论】

6.|a|^2=a^2【平方也可去绝对值】;|a+b|≤|a|+|b|

7.|x1-x2| 的几何意义是x1,x2在数轴上对应的点之间的距离;

8.比较两个数(式子)的大小,一般用作差法;

9. 乘积为1的两个数互为倒数;0没有倒数;

和为0的两个数互为相反数;

2代数式

1.数与字母的积叫做单项式;单独的一个数或一个字母也是单项式;

2. 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数;

3.在多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数;

4. 所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项;

5.去括号时注意是否要变符号;

3一元一次方程

1.等式的基本性质:①等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式仍然成立;②等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式,等式仍然成立;

2.使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解;

3. 一元一次方程总可以化为ax=b的形式:①a≠0,方程有唯一解;②a=0且b≠0,方程无解;③a=0且b=0,方程有无数个解

4. 顺水速度=船的静水速度+水流速度

逆水速度=船的静水速度- 水流速度

工作总量=工作效率×工作时间

年龄差不变

利润率=利润/成本×100 %

利润=总售价-总成本=每一件的利润×总件数

【当销售问题比较复杂时,建议用总售价和总成本算利润】

4走进图形的世界

1.多面体欧拉公式:顶点数+面数-棱数=2

2.正方体平面展开图有11种:①1+4+1型有6种;②1+3+2型有3种;③2+2+2型有1种;④3+3型有1种

3.三视图:主视图,左视图,俯视图;

看得见的部分的轮廓线画成实线,被其它部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线;长对正,高齐平,宽相等;

5、平面图形的认识

1. 射线AB,端点为A,由A→B无限延伸

2.两点之间,线段最短

3.平行线间的距离处处相等

【同底等高的两个三角形面积相等,可借助平行线将三角形面积进行转化】

4. 如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫做互为余角;

如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫做互为补角;

5. 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短

6.图形的平移:对应边相等,对应角相等

7.三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边

【三角形的较短的两边之和大于最长边】

8.三角形三边中线的交点为重心;

三条中线将三角形分成了6个面积相等的小三角形;

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1;

9.三角形三个内角的角平分线的交点为内心;

内心到各边的距离相等;

10.三角形三边垂直平分线的交点为外心;

外心到各顶点的距离相等;

11.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和【角转换】

12. n边形的内角和为180°·(n-2);

多边形的外角和为360°;

n边形有1/2·n(n-3)条对角线;

13.两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;

14.与角有关的常见模型:

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247dd617b326197ee30b5ec301b77f36.png

(点击图片放大查看)6幂的运算1. 同底数幂相乘,底数不变,指数相加;

同底数幂相除,底数不变,指数相减;

幂的乘方,底数不变,指数相乘;

2. 任何不等于0的数的0次幂等于1;

任何不等于0的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数;

3.比较两个幂的大小,要么化底数相同,要么化指数相同

【极少情况用放缩法,寻找中间量】

7整式乘法与因式分解

1.a+b,a-b,a^2+b^2,ab中可知二推二

2.

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3.因式分解的常用方法:①提公因式法;②公式法;③十字相乘法;④整体法;⑤分组分解法;

4. 因式分解的结果只能是几个因式的积;因式分解一定要进行到底;

8二元一次方程组

1.解二元一次方程组中最重要的思想是消元,即减少未知数的个数; 主要方法:①加减消元法;②代入消元法;

2.

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9一元一次不等式

1.不等式的基本性质1:

不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;

2.不等式的基本性质2:

不等式 的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;

3.解不等式时,两边同除以某个数时,要根据该数的正负判断是否要改变不等号的方向;

10证明

1. 命题是一个判断的语句,必须是一个完整的句子;

命题的核心是“判断”,是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答;

如果命题的条件和结论比较难找,可以先转化成“如果……,那么……”的形式;

2. 判断一个命题是否为假命题,只要举出一个反例即可;

3. 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题

11全等三角形

1.若两个几何图形的形状相同,大小相等,即能够完全重合的两个图形叫全等形;

2.全等三角形的判定方法:SSS,SAS,ASA,AAS,HL

12轴对称图形

1. 对称轴是一条直线

2. 两个图形关于某直线成轴对称,则它们的对应边相等,对应角相等;

对称轴垂直平分对应点连线;对称轴上的点到对应点的距离相等;

两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交,那么交点在对称轴上;

3. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;

4. 角平分线上的点到角两边的距离相等;

在一个角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上;

5.角平分线的常见模型:

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6.等腰三角形三线合一;

7.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

13勾股定理

1.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;

2.勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数;

3. 判断一个三角形是否是直角三角形,可用勾股定理的逆定理;

14实数

1. 一个正数的平方根有两个,算术平方根是正的;

2. 两个有理数的和,差,积,商还是有理数;

两个无理数的和,差,积,商不一定是无理数;

3.设x为有理数(x≠0),y为无理数,则x+y,x-y,xy,x/y ,y/x 都是无理数

4.若x,y都是有理数,m是无理数,则要使x+ym=0成立,须使x=y=0

平面直角坐标系

1. 坐标轴上的点不属于任何象限;

2. 求坐标系内两点距离,构造直角三角形,勾股定理;

15一次函数

1.一般地,如果在一个变化的过程中有2个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么称y是x的函数,x是自变量;

2.一次函数:y=kx+b (k≠0)

3.平面直角坐标系中,若两条直线平行,则k相等;

4.k的正负看直线的走向,b的正负看直线和y轴的交点;

5.k=±1,直线与x轴形成的锐角为45°;

k=±根号3,直线与x轴形成的锐角为60°;

k=±根号3/3,直线与x轴形成的锐角为30°;

16数据的收集与整理

1. 总体,个体,样本含有具体的调查内容;样本容量只是具体数值,没有单位

2. 频率=频数/数据总数,各对象的频率之和等于1;

极差=最大值-最小值

17认识概率

1.确定事件:必然事件P=1;不可能事件P=0,

随机事件0

2.对某一随机现象进行试验,当试验次数足够多时,A事件发生的频率会越来越接近A事件发生的概率;

频率会随着试验次数的不同而变化;概率是稳定值,不受试验次数的影响;

18中心对称图形——平行四边形

1. 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角,各旋转角都相等;

对应点到旋转中心的距离相等;

2.确定旋转中心的方法:

分别作两组对应点所连线段的垂直平分线,其交点即为旋转中心

3. 成中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分;

对应角相等,对应线段平行(或在同一条直线上) 且相等;

4. 确定对称中心的方法:连接两对对应点,这两条线段的交点就是对称中心

5.平行四边形的判定:①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③对角线互相平分;④一组对边平行且相等;

6. 矩形的判定:①平行四边形+一个角90°; ②平行四边形+对角线相等;③三个角为90°;

7. 菱形的判定:①平行四边形+邻边相等;②平行四边形+对角线互相垂直;③四边相等;

8.正方形的判定:矩形+菱形

9.正方形常见图形:

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19分式

1.分式有意义的条件:分母不为0;

2.分式的值为整数:分母是分子的因数

【若分子不是数字,裂项;考虑正负】

3.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变

4.最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积

5. 分式方程无解:①算出的解为增根;②化成的整式方程不成立(等号两边不相等)

6.解分式方程后要检验【解答题也是】

20反比例函数

1.反比例函数:y=k/x   (k≠0);

2. 反比例函数研究其增减性的时候一定要有范围;

3.解决反比例函数问题的三大法:

①几何意义法;②设点法;③设线段法;

4. 利用几何意义求出|k|后,一定要根据图像所在象限判断k的正负;

5.反比例函数解答题常用 反比例函数图像上两点横纵坐标乘积相等来构建等量关系;

21二次根式

1.二次根式,根号a≥0,a≥0【双重非负性】

2. 二次根式变形时,一定要注意正负性不能变;

3.根号下a^2=|a|

22一元二次方程

1. 一元二次方程,二次项系数不为0;

2. 在用x1+x2,x1·x2时,要保证∆≥0;

可以根据x1+x2,x1·x2的正负性来判断两根的正负性;

3. |x1-x2|^2=(x1+x2)^2 – 4·x1x2

4.一元二次方程实际应用题,根据范围对解进行取舍;

23圆

1. 圆上各点到圆心的距离都等于半径;

2. 弧所对的圆周角有一种,弦所对的圆周角有2种【指圆周角的度数】;

3.同一圆内弧相等,所对弦相等,所对圆心角相等,所对圆周角相等;

4.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;

平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧;

5. 不在同一条直线上的三点确定一个圆;

6. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;直径所对的圆周角是90°;90°的圆周角所对的弦是直径;

7. 直线和圆有三种位置关系:相交d,相切d=r,相离d>r;

8. 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;

9. 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等;

【这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角】

10. 判断一条直线是否为圆的切线: ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线;②与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线(d=r);③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

11.内切圆半径r=2S/C 【一般三角形】;r=(a+b-c)/2【直角三角形】

外接圆半径R=c/2【直角三角形】

12.圆的内接四边形对角互补;

13.弧长公式:l=nπr/180;

扇形面积公式:S=nπr^2/360=1/2·lr【l指弧长】;

14.圆锥侧面积公式:S=πrl【此时r为底面半径,l为母线】;

圆锥底面周长等于侧面展开图所对弧长:2πr= nπl/180;

圆锥体积公式:V=1/3·h·πr^2

15.已知圆的切线,要连接圆心和切点;

已知弧的中点,则有圆周角相等,弦相等;

已知某圆周角为90°,连接则有直径;

已知直径,则其所对圆周角为90°;

24数据的集中趋势和离散程度

1.求中位数的时候,一定要先将数据按大小进行排序;

2. 两组数据,平均数相同时,方差越小,越稳定,波动越小;

25等可能条件下的概率

1. 画树状图法比列表法更实用;

2.类抽球问题一定要注意是放回还是不放回;

26二次函数

1.二次函数:y=ax^2+bx+c  (a≠0 )

2.二次函数的常见表达形式:一般式,顶点式,交点式;

3.函数图像平移规律:上加下减,左加右减;

4. 二次函数图像与x轴交点个数 与∆的关系:①2,∆>0;②1,∆=0;③0,∆<0

5.若抛物线上不同的两点纵坐标相同,则这两点的中点在对称轴上;

6.抛物线与x轴的交点之间的距离=|x1-x2|;

7.a的正负看开口方向;b的正负看对称轴的位置【左同右异】;c的正负看抛物线和y轴的交点;

8.二次函数配方法求最值时,一定要注意自变量的范围;

9.直线与抛物线只有一个公共点:①直线是平行于y轴的直线;②直线与抛物线相切,方程联列,∆=0;

10. 抛物线与坐标轴有两个交点:①过原点;②∆=0;

27图形的相似

1.比例尺=图上距离:实际距离【注意单位化相同】;

如果四条线段a,b,c,d满足a/b=c/d,则这四条线段叫做成比例线段

【有先后顺序,不可颠倒】

2.一条线段有两个黄金分割点;

黄金分割点将线段分成一短一长两部分,短/长=长/总=(根号5-1)/2≈0.618

3.合比性质;等比性质;平行线分线段成比例定理;

4.相似三角形的判定:①两组角对应相等;②两组边对应成比例,夹角相等;③三组边对应成比例;

5.相似三角形的性质:

①对应边成比例,对应角相等;②相似三角形的对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比;③相似三角形的周长比等于相似比;④相似三角形的面积比等于相似比的平方;

6. 如果给了一组位似图形,找位似中心时,看看有没有可能是2个;

7. 给定位似中心和图形,画另一个图形的时候,如果没有要求会有两个图;

8.相似三角形的常见图形:

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28锐角三角形

1.直角三角形中:

正弦=对边/斜边;余弦=邻边/斜边;正切=对边/邻边;

2.当0°<∠A<90°,tanA>0,0 <sinA<1,0<cosA<1;

3. 若两锐角的同名三角函数值相等,则这两个锐角相等;

4. 锐角的正弦,正切值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小;

5.坡度=垂直高度:水平宽度;

6.视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角;

7. 求某角的三角函数值,找直角三角形;

如果没有,要么转换成另外一个相等的角,要么直接作垂直构造;

二条件延伸【思路包括但不限于所述,切勿钻牛角尖!】

1.直线平行:①有同位角,内错角相等【有时要延长构造】;②同底等高三角形面积转化;③平行线分线段成比例定理;④三角形相似;

2.角平分线:①从角平分线上一点往角两边作垂直;②三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例;

3.平行线+角平分线:有等腰三角形;

角平分线+角平分线的垂线:垂线延长,与角的两边相交,构造全等三角形;

4.90°的顶点在某直线上:构造K字形相似;

5. 等腰三角形,有底边中点:作底边中线,有三线合一;

6. 图形的翻折(关于某条直线对称):对应边相等,对应角相等,对称轴垂直平分对应点连线;

7.坐标系中直角三角形沿斜边翻折:过直角的对应点作水平线,铅垂线,构造k字形相似;

【直角三角形沿斜边翻折可以构造角相等】

8.两条直线夹角45°:作垂直构造等腰直角三角形,可有K字形全等;

9. 图形的旋转:对应边相等,对应角相等,各个旋转角都相等;

10. 含15°或22.5°的直角三角形:利用斜边的垂直平分线与某边的交点,将该三角形分成一个等腰三角形和一个含30°或45°的直角三角形;

11.某边有中点:或可连接倍长,构造8字形全等;

12. 等腰直角三角形:1:1:根号2;

含30°的直角三角形:1:根号3:2;

顶角是120°的等腰三角形:1:1:根号3

13. 含30°,45°,或60°的三角形:可以作垂直构造特殊的直角三角形;

14. 三角形一边长度固定,此边所对的角大小固定:可以把这个角想象成是圆内弦所对的圆周角,利用圆心角是圆周角的2倍找出圆心,则点在圆上;

【特别是边所对的角是90°的情况】

15.一次函数或者二次函数表达式中只出现一个其它字母:函数一般经过某定点;

16.二次函数中,二次项系数和一次项系数为单项式且所含字母相同,次数相同:可以求对称轴;

三常见辅助线

1.作垂直:

【等腰三角形;求三角函数值;已知某角的三角函数值;三角函数的应用题;角平分线;涉及圆内弦长;求三角形,平行四边形,梯形的高;构造相似或全等;有特殊角】

2.作平行:

【构造相似三角形】

3.倍长中线

【三角形内有中线;某边有中点】

4.取中点,连接构造中位线

【图形里中点较多】

5.旋转三角形

【等边三角形;正方形;等腰三角形;图形中有某两边相等】

6.构造等边三角形

【某些求线段和最小时,旋转三角形前可先构造等边三角形】

7.三角形翻折

【可以构造角相等】

四问题剖析1.画图题:

图形的平移;图形的旋转;轴对称;中心对称;图形的位似;角平分线【内切圆,找内切圆圆心】;垂直平分线【外接圆,找外接圆圆心】;高;相等的角【①利用SSS;②利用圆内同弧所对的圆周角相等】;

2. 求线段长度:

转化法【长-短,短+短】;找全等;勾股定理;找相似;设未知数,寻找等量关系

3. 求证两线段相等:

证等腰;找全等;证平行四边形;求出两条线段的长度(或表达式);

4. 线段(和)的最值问题:

①两点之间,线段最短:

⑴将军饮马:两定点在某直线的同侧,一点在直线上运动

【做对称连接】

⑵选址造桥:两定点在某直线的同侧,一定长线段在直线上运动

【做对称,平移点,连接】

⑶费马点:∆ABC每一个内角都小于120°,在∆ABC内部求点P,使PA+PB+PC和最小

【点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,构造等边三角形,旋转三角形,线段转化,共线最短】

⑷阿氏圆:与圆有关,求AP+aPB的最小值,常见的系数a有1/2,2等

【利用点与圆心的距离与半径之比,构造三角形相似,将线段转化,最终化为共线最短】

②垂线段最短

⑴一定点在某直线外,一点在直线上运动

【垂线段最短】

⑵胡不归:如A是直线外一 定点,B是某直线上一定点,P是该直线上一动点,求AP+aPB的最小值,常见的系数a如1/2,根号3/2,根号2/2

【利用三角函数构造直角三角形,将线段转化(一般都是根据常见的系数构造含30°或45°的特殊直角三角形),最终化为垂线段最短】

③三角形两边之和大于第三边

⑴所求线段在一个三角形中,另外两边长度固定。当三点共线时,线段最长

【常见方法:取中点连接 或 旋转三角形。目的是构造符合的三角形】

④圆外(内)一定点到圆上一动点的距离问题

【连接该点与圆心,延长与圆相交,一个交点是距离最小处,另一个是距离最大处】

⑤设未知数,求出该线段的解析式,利用函数求最值

5. 证明多条线段之间的数量关系:

①截长补短法

【截长还是补短,都要去试一试,有些题两种都可以,有些就只能用其中一种方法】

②旋转法【将边放在一条直线上或同一个三角形里】

③找相似

④找直角三角形,勾股定理

6.探究多条线段之间的数量关系:

①和差关系;②平方和相等;③乘积相等;

【三种情况有时候会有系数,方法见上】

7. 求线段之比:

找相似;直接求线段长;或先转化成其它线段;

8.求线段乘积:

找相似;或先转化成其它线段;

【线段平方多数是勾股定理或射影定理】

9. 求角的度数:

角转换;平行线的性质;特殊三角形;圆内圆心角和圆周角的关系;

10. 证明角相等:

证等腰;角转换;平行线的性质;找全等;找8字形;设某个角,然后用该去表示其它角;证相似

11. 求三角形面积:

公式法;割补法;铅锤法【在坐标系中用的最多,过动点作铅锤线】;转化法

12. 求阴影部分(复杂图形)面积:

割补法;转化法【转化成其它面积相等的图形】

13. 求图形面积的比值:

找相似,面积比等于相似比的平方;找等底或等高的三角形,转化;直接求面积;

14.含其它未知数的不等式问题:

⑴解不等式;⑵画数轴;⑶确定左右边界;⑷确定边界是否能取等;

15. 求某点运动路径长:

⑴找起点;⑵找终点;⑶确定运动路径是线段还是弧线

【有极少数题目点会来回运动,特别当心】

16. 与动点有关的解答题:

⑴了解动点的运动情况,涉及动点停止的求t总

⑵根据动点在不同的位置【影响到图形的形状】进行分类讨论,分类前一定要写对应的时间范围。根据问题求出的t要检验是否在对应的范围里

17.三点构成等腰三角形的问题:

①若有两点固定,可画两圆一直线;

②其它情况,要么根据两边相等进行分类,要么根据两角相等进行分类;

18.三点构成直角三角形的问题:

①若有两点固定,可画一圆两直线;

②其它情况,根据角为直角分类;

19.四点构成平行四边形的问题:

①若两点固定,根据该两定点相邻或相对进行分类;

②其它情况,根据题意画出符合的图形;

20.四点构成菱形的问题:

①若两点固定,将问题转化成找等腰三角形的问题;

②其它情况,根据题意画出符合的图形;

21. 二次函数给定范围,给定最值,求某字母范围:

⑴先确定开口方向,不确定请讨论

⑵画出二次函数的草图,画出抛物线,标出对称轴

⑶分类讨论

①讨论对称轴在给定范围的左侧,内部,右侧

②讨论给定范围的中点在对称轴的左侧,右侧

【一般选取下面2种方法的一种;复杂题目(最大值最小值都涉及)2种方法一起用,分四类】

22.恒成立问题【一般题目中会出现始终成立,都满足,恒成立等字眼】:

恒成立问题转化成最值问题,结合题意研究应该求最大值还是最小值;

五注意事项

1. 当要用到线段长度,但题目又没给的时候,设一设;

【选择填空问题涉及边的比例关系可直接设数字,解答题要设未知数】

2. 有些题目没有画图,自己画的时候结合题意注意是否有多种情况;

【有些题目有多种情况,但只画了一种】

3. 应用题在写出函数解析式后,若可以,写出自变量的范围;

4. 有些解答题(尤其是后3题),后一小问的证明有可能会用到前一小问所要证的结论;

3.三角函数解答题,涉及到有近似值的,先把结果的准确式子写出来,最后再代入近似值;

4.选择题善用排除法;

5.解答题中如果有很多个字母,可根据字母间的等量关系进行消元,减少未知数的个数;

6.选择6可能会有难度,填空可能会有2个有难度;超过3分钟没有思路先跳过,但最后别空着,猜也要猜个答案;

7.试卷前22-23题最好在一小时内解决,并且会做的要保证足够高的正确率;

8.最后10分钟,根据自身情况决定是复看还是继续冲刺难题;

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